1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Euklid von Alexandria
Die heute so genannte Figur des Saccheri - Vierecks geht eigentlich auf die Araber zurück. Ein Mathematiker namens Umar al-Hayyam(1048 - 1131) untersuchte bereits zu seiner Zeit das Viereck, das aus einer gegebenen Strecke AB besteht, in deren Endpunkten man zwei gleichlange Strecken AC und BD konstruiert. Er führt nun zunächst den Beweis, dass die beiden oberen Winkel, die durch die Verbindung der Endpunkte der Strecken AC und BD entstehen, gleich groß sind. Und nun bleiben für die Größe der Winkel nur drei Möglichkeiten (Die Annahmen 1 und 3 entsprechen den oben angesprochenen Negaten.):
1. die Winkel sind kleiner als 90°;
2. die Winkel sind gleich 90°;
3. die Winkel sind größer als 90°.
Nach Euklid musste die zweite Annahme gelten. Dies bewies er nicht direkt. Er konnte lediglich zeigen, dass etwas Falsches folgt, wenn die Winkel stumpf sind. Den spitzen Winkel betreffend kam Euklid zu einem nicht zufrieden stellenden Ergebnis. Saccheri führte Euklids Arbeiten fort und schlussfolgerte aus Postulat 2 "MAN KANN EINE BEGRENZTE, GERADE LINIE ZUSAMMENHÄNGEND GERADE VERLÄNGERN" ([Q8], S.2, Postulat 2), dass gerade Linien unendlich lang sind. Riemann zeigte 1854, wie oben beschrieben, dass diese Annahme nicht gerechtfertigt ist. Somit ist Saccheris Beweis unvollständig, die Theorie des spitzen Winkels nicht vollständig und die Gültigkeit des "Parallelenpostulats" unbestritten. Saccheri brachte jedoch frischen Wind in die Debatte um das sagenumwobene fünfte Postulat, bis sich Größen, wie z.B. Carl Friedrich Gauß, dieser Herausforderung annahmen.
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