1 Die geometrischen Bücher I bis IV
1.1 Betrachtung des Inhalts der Bücher I bis IV
1.2 Aufdeckung von inhaltlichen Schwächen
1.2.1 Exkurs: Der Perfektionismus im Axiomensystem
1.2.2 Das Axiomensystem Euklids
1.2.3 Das "Parallelenpostulat"
2 Die Entwicklung einer "neuen" Geometrie:
Auf dem Wege zur nichteuklidischen Geometrie
2.1 Das Saccheri-Viereck und seine Bedeutung
2.2 Die Vertreter der hyperbolischen Geometrie
2.2.1 C.F. Gauß und die nichteuklidische Geometrie
2.2.2 J. Bolyai und N.I. Lobatschewskij und die nichteuklididsche Geometrie
2.3 B. Riemann als Begründer der elliptischen Geometrie
2.4 Das Erlanger Programm
2.5 Die Axiomatisierung durch David Hilbert
Abbildung 11: David Hilbert
Im Jahre 1899 war die Entwicklung der nichteuklidischen Geometrien vollständig beendet. In diesem Jahr veröffentlichte David Hilbert (1862 - 1930) ein Axiomensystem, das alle Mängel des Euklidischen beseitigte. Das "Parallelenpostulat" war in seiner Arbeit, die sich "Grundlagen der Geometrie" nannte, in der euklidischen Form nicht enthalten. Diese Abhandlung beginnt wie folgt:
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"ERKLÄRUNG. WIR DENKEN DREI VERSCHIEDENE SYSTEME VON DINGEN: DIE DINGE DES ERSTEN SYSTEMS NENNEN WIR PUNKTE UND BEZEICHNEN SIE MIT A, B, C, �; DIE DINGE DES ZWEITEN SYSTEMS NENEN WIR GERADEN UND BEZEICHNEN SIE MIT a, b, c, �; DIE DINGE DES DRITTEN SYSTEMS NENNEN WIR EBENEN UND BEZEICHNEN SIE MIT Alpha, Beta, Gamma, ...".
----------------------------------------------------------------[Q13], S.2(leicht abgeändert)
Im Vergleich zu Euklids Arbeit sieht man hier sehr gut das unterschiedliche Herangehen beider. Das Hilbertsche Axiomensystem beinhaltet die folgenden Axiomgruppen:
I. Acht Axiome der Verknüpfung;
II. Vier Axiome der Anordnung;
III. Fünf Axiome der Kongruenz;
IV. Das Axiom der Parallelen;
V. Zwei Axiome der Stetigkeit.
Zurückgreifend auf das Euklidische "Parallelenpostulat" lautet das hilbertsche Axiom der Parallelen:
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"ZU EINER GERADEN GIBT ES DURCH EINEN NICHT AUF IHR LIEGENDEN PUNKT HÖCHSTENS EINE GERADE, DIE DIE ERSTE NICHT SCHNEIDET.".
----------------------------------------------------------------[Q7], S.763
Hier ist ein hohes Maß an Verständlichkeit gegeben und im Bezug auf das Euklidische ist dieses Postulat auch leicht nachvollziehbar. So waren nun auch die Widerspruchsfreiheit und die Unabhängigkeit geltendes Maß, so dass der von Hilbert gebahnte Weg sich als erfolgreich erweisen konnte. Sein axiomatischer Aufbau der Geometrie brachte große Fortschritte und ist ein gelungener Ersatz für das Euklidische Axiomensystem.
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